Exemple d'examen — secondaire 5 SN, étape 1

Secondaire 5 · SN · Fonctions · difficile · Fonctions

Énoncé

Exemple d'examen original de l'étape 1, au programme de mathématique du Québec. Il porte sur les notions le plus souvent travaillées de septembre à la fin octobre. Les planifications varient un peu selon l'école. Il ne reproduit pas une épreuve ministérielle.

Séquence Sciences naturelles. Durée suggérée : 75 minutes. Total : 50 points. Les réponses exactes sont exigées.

Question 1 — 8 points

Une culture compte au départ 80 bactéries. Ce nombre double chaque heure :

N(t) = 80 \times 2^t

a) Combien y en a-t-il au départ ?

b) Combien y en a-t-il après 3 heures ?

Question 2 — 6 points

Résous $5^x = 125$ .

Question 3 — 6 points

Résous $2^x = \dfrac{1}{8}$ .

Question 4 — 6 points

Calcule $\log_{10}(1\,000)$ et $\log_2(32)$ .

Question 5 — 6 points

Résous $\log_2(x) = 4$ .

Question 6 — 10 points

Une population de 500 personnes augmente de 10 pour cent par année.

a) Écris la règle $P(t)$ .

b) Quelle est la population après 2 ans ?

Question 7 — 8 points

Calcule $\log_2(8) + \log_2(4)$ , puis vérifie avec la propriété du produit.

Espace de travail

Indice

Si $a^x = a^n$ , alors $x = n$ , pour $a > 0$ et $a eq 1 $. Par définition,$ \log_b(a) = c $signifie$ b^c = a$. Une hausse de 10 pour cent se traduit par un facteur 1,1.

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Correction détaillée

Question 1

a) $N(0) = 80 \times 2^0 = 80$ . Il y a 80 bactéries au départ.

b) $N(3) = 80 \times 2^3 = 80 \times 8 = 640$ .

Question 2

$125 = 5^3$ , donc $5^x = 5^3$ et $x = 3$ .

Question 3

\dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2^3} = 2^{-3}

Donc $x = -3$ .

Question 4

$1\,000 = 10^3$ , donc $\log_{10}(1\,000) = 3$ .

$32 = 2^5$ , donc $\log_2(32) = 5$ .

Question 5

$\log_2(x) = 4$ signifie $x = 2^4 = 16$ .

Question 6

a) Chaque année, la population est multipliée par 1,1 :

P(t) = 500 \times (1{,}1)^t

(1{,}1)^2 = 1{,}21

P(2) = 500 \times 1{,}21 = 605

Après 2 ans, la population est de 605 personnes.

Question 7

\log_2(8) = 3 \qquad \log_2(4) = 2

3 + 2 = 5

Propriété du produit :

\log_2(8) + \log_2(4) = \log_2(8 \times 4) = \log_2(32) = 5

Les deux démarches donnent 5.

Réponse finale

1. 80 bactéries ; 640 bactéries
2. $x = 3$
3. $x = -3$
4. 3 et 5
5. $x = 16$
6. $P(t) = 500 \times (1{,}1)^t$ ; 605 personnes
7. 5

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