La culture bactérienne — secondaire 5 SN

Secondaire 5 · SN · Fonctions · difficile · Fonctions

Énoncé

Exercice original, conçu pour le programme de mathématique du Québec. Ce n'est pas une question d'examen ministériel.

Niveau : secondaire 5. Parcours : Sciences naturelles (SN), et non CST. Thème : exponentielle et trigonométrie. Notions : fonction exponentielle, équation exponentielle, logarithme, propriété du produit, loi des cosinus. Durée : 80 minutes. Matériel : crayon. Les réponses exactes sont exigées. Rappel : $\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$ . Total : 50 points.

Question 1 — 8 points

Une culture contient 200 bactéries et triple chaque heure : $N(t) = 200 \times 3^t$ . Combien y en a-t-il après 2 heures ?

Question 2 — 8 points

Résous $4^x = 64$ et $5^x = \dfrac{1}{25}$ .

Question 3 — 8 points

Calcule $\log_2(32)$ et résous $\log_{10}(x) = 4$ .

Question 4 — 10 points

Une population de 400 personnes augmente de 5 pour cent par année.

a) Écris $P(t)$ .

b) Quelle est la population après 2 ans ?

Question 5 — 10 points

Dans un triangle, deux côtés mesurent 6 cm et 8 cm. L'angle compris mesure $60^\circ$ . Trouve le troisième côté avec la loi des cosinus.

Question 6 — 6 points

Calcule $\log_2(16) + \log_2(2)$ et vérifie avec la propriété du produit.

Page du parcours : secondaire 5 SN.

Espace de travail

Indice

Si les bases sont égales, les exposants sont égaux. $\log_b(a) = c$ signifie $b^c = a$ . Une hausse de 5 pour cent multiplie par 1,05.

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Correction détaillée

Question 1

$N(2) = 200 \times 3^2 = 200 \times 9 = 1\,800$ . Il y a 1 800 bactéries.

Question 2

$64 = 4^3$ , donc $x = 3$ .

$\dfrac{1}{25} = 5^{-2}$ , donc $x = -2$ .

Question 3

$32 = 2^5$ , donc $\log_2(32) = 5$ .

$\log_{10}(x) = 4$ signifie $x = 10^4 = 10\,000$ .

Question 4

a) $P(t) = 400 \times (1{,}05)^t$ .

b) $(1{,}05)^2 = 1{,}1025$ . $P(2) = 400 \times 1{,}1025 = 441$ . La population est de 441 personnes.

Question 5

c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \times 6 \times 8 \times \cos 60^\circ

c^2 = 36 + 64 - 96 \times \dfrac{1}{2} = 100 - 48 = 52

c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}

Le troisième côté mesure $2\sqrt{13}$ cm. On rejette la racine négative.

Question 6

$\log_2(16) = 4$ et $\log_2(2) = 1$ , donc la somme vaut 5.

Propriété : $\log_2(16 \times 2) = \log_2(32) = 5$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le signe moins dans la loi des cosinus, ou écrire qu'une hausse de 5 pour cent multiplie par 5.

À retenir

Une croissance à taux constant se modélise par une exponentielle. Le logarithme est l'exposant qu'il faut donner à la base.

Réponse finale

1. 1 800 bactéries
2. $x = 3$ et $x = -2$
3. 5 et $x = 10\,000$
4. $P(t) = 400 \times (1{,}05)^t$ ; 441 personnes
5. $2\sqrt{13}$ cm
6. 5

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