Modèle d'examen — secondaire 5

Secondaire 5 · Fonctions · difficile · Résolution de problèmes

Énoncé

Modèle d'examen original pour la 5e secondaire. Il rassemble des notions du programme québécois de fin du secondaire : croissance exponentielle, logarithme, optimisation d'une aire, probabilité et trigonométrie. Il ne reproduit pas une épreuve ministérielle.

Durée suggérée : 90 minutes. Total : 60 points. Les réponses exactes sont exigées.

Question 1 — 10 points

Une culture contient 250 bactéries. Ce nombre double chaque heure.

a) Écris la règle $N(t)$ , où $t$ est le nombre d'heures.

b) Combien de bactéries y a-t-il après 3 heures ?

Question 2 — 8 points

a) Résous $3^x = 81$ .

b) Calcule $\log_{10}(10\,000)$ .

Question 3 — 14 points

Un rectangle a un périmètre de 24 m. Sa longueur est $x$ mètres.

a) Exprime la largeur en fonction de $x$ .

b) Écris l'aire $A(x)$ .

c) Quelle valeur de $x$ donne l'aire maximale, et quelle est cette aire ?

Question 4 — 10 points

Dans un triangle, deux côtés mesurent 5 cm et 5 cm. L'angle compris entre ces côtés mesure $60^\circ$ . Utilise la loi des cosinus pour trouver le troisième côté.

Question 5 — 12 points

Une urne contient 5 billes rouges, 3 billes vertes et 2 billes jaunes. On tire au hasard.

a) Quelle est la probabilité d'obtenir une bille verte en un tirage ?

b) On tire deux billes sans remise. Quelle est la probabilité d'obtenir deux billes rouges ?

Question 6 — 6 points

On place 800 dollars à un taux d'intérêt simple de 5 pour cent par année, pendant 3 ans.

a) Quel intérêt obtient-on ?

b) Quel est le montant final ?

Espace de travail

Indice

Si une quantité double à chaque étape, la règle contient $2^t$ . Le sommet d'une parabole $A(x) = -x^2 + bx$ est à $x = b/2$ . Pour deux tirages sans remise, le dénominateur diminue au second tirage. Rappel : $\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$ .

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Correction détaillée

Question 1

a) La quantité de départ est 250 et elle est multipliée par 2 à chaque heure :

N(t) = 250 \times 2^t

N(3) = 250 \times 2^3 = 250 \times 8 = 2\,000

Il y a 2 000 bactéries après 3 heures.

Question 2

a) $81 = 3^4$ , donc $3^x = 3^4$ et $x = 4$ .

b) $10\,000 = 10^4$ , donc $\log_{10}(10\,000) = 4$ .

Question 3

a) Le demi-périmètre est $24 \div 2 = 12$ . La somme de la longueur et de la largeur vaut 12 m.

\text{largeur} = 12 - x

avec $0 < x < 12$ .

A(x) = x(12 - x) = 12x - x^2

c) $A(x) = -x^2 + 12x$ est une parabole qui s'ouvre vers le bas. Le sommet est en

x = \dfrac{12}{2} = 6

La largeur est alors $12 - 6 = 6$ m. Le rectangle d'aire maximale est un carré.

A(6) = 6 \times 6 = 36

L'aire maximale est 36 m².

Question 4

c^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \times 5 \times 5 \times \cos 60^\circ

c^2 = 25 + 25 - 50 \times \dfrac{1}{2} = 50 - 25 = 25

c = \sqrt{25} = 5

Le troisième côté mesure 5 cm. Le triangle est équilatéral, ce qui confirme le résultat.

Question 5

Il y a $5 + 3 + 2 = 10$ billes.

a) $P(\text{verte}) = \dfrac{3}{10}$

b) Au premier tirage, $P(\text{rouge}) = \dfrac{5}{10}$ . Il reste alors 4 rouges sur 9 billes.

P = \dfrac{5}{10} \times \dfrac{4}{9} = \dfrac{20}{90} = \dfrac{2}{9}

Question 6

I = 800 \times 0{,}05 \times 3 = 120

L'intérêt est de 120 dollars.

b) $800 + 120 = 920$ . Le montant final est 920 dollars.

Réponse finale

1. $N(t) = 250 \times 2^t$ ; 2 000 bactéries
2. $x = 4$ ; 4
3. largeur $12 - x$ ; $A(x) = 12x - x^2$ ; carré de 6 m, aire 36 m²
4. 5 cm
5. $\dfrac{3}{10}$ ; $\dfrac{2}{9}$
6. 120 dollars ; 920 dollars