Exemple d'examen — secondaire 5 CST, étape 1

Secondaire 5 · CST · Fonctions · difficile · Fonctions

Énoncé

Exemple d'examen original de l'étape 1, au programme de mathématique du Québec. Il porte sur les notions le plus souvent travaillées de septembre à la fin octobre. Les planifications varient un peu selon l'école. Il ne reproduit pas une épreuve ministérielle.

Séquence Culture, société et technique. Durée suggérée : 75 minutes. Total : 50 points.

Question 1 — 12 points

Un stationnement coûte 4 dollars par heure commencée. Le coût est

C(t) = 4\lceil t \rceil

où $t$ est le temps en heures et $\lceil t \rceil$ est le plus petit entier supérieur ou égal à $t$ .

Calcule le coût pour 0,5 heure, pour 2 heures et pour 2,1 heures.

Question 2 — 12 points

Deux forfaits d'impression, où $x$ est le nombre de pages :

A(x) = 2x + 30 \qquad B(x) = 4x + 10

a) Pour quelle valeur de $x$ les coûts sont-ils égaux ?

b) Quel forfait est moins cher pour 4 pages ? Pour 12 pages ?

Question 3 — 10 points

Une fonction est définie par

f(x) = \begin{cases} 10 & \text{si } 0 \le x \le 5 \\ 10 + 3(x - 5) & \text{si } x > 5 \end{cases}

Calcule $f(4)$ et $f(8)$ .

Question 4 — 16 points

Un rectangle a un périmètre de 20 m. Sa longueur est $x$ mètres, avec $0 < x < 10$ .

a) Exprime la largeur, puis l'aire $A(x)$ .

b) Calcule l'aire pour $x = 2$ , $x = 4$ , $x = 5$ , $x = 6$ et $x = 8$ .

c) Parmi ces valeurs, laquelle donne l'aire la plus grande ? Quelle est cette aire ?

Espace de travail

Indice

Une heure commencée est comptée en entier : 2,1 heures comptent pour 3 heures. Pour le rectangle, la somme de la longueur et de la largeur vaut la moitié du périmètre.

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Correction détaillée

Question 1

$\lceil 0{,}5 \rceil = 1$ , donc $C(0{,}5) = 4$ dollars.

$\lceil 2 \rceil = 2$ , donc $C(2) = 8$ dollars.

$\lceil 2{,}1 \rceil = 3$ , donc $C(2{,}1) = 12$ dollars.

Question 2

2x + 30 = 4x + 10

20 = 2x

x = 10

Les coûts sont égaux pour 10 pages. Le coût commun est $2 \times 10 + 30 = 50$ dollars.

b) $A(4) = 8 + 30 = 38$ et $B(4) = 16 + 10 = 26$ . Le forfait B est moins cher pour 4 pages.

$A(12) = 24 + 30 = 54$ et $B(12) = 48 + 10 = 58$ . Le forfait A est moins cher pour 12 pages.

Question 3

4 est entre 0 et 5, donc $f(4) = 10$ .

8 est plus grand que 5 :

f(8) = 10 + 3(8 - 5) = 10 + 9 = 19

Question 4

a) Le demi-périmètre est 10 m. La largeur est $10 - x$ mètres.

A(x) = x(10 - x) = 10x - x^2

A(2) = 16 \qquad A(4) = 24 \qquad A(5) = 25 \qquad A(6) = 24 \qquad A(8) = 16

c) La plus grande de ces aires est 25 m², obtenue quand $x = 5$ . La largeur est alors aussi 5 m : le rectangle est un carré.

Réponse finale

1. 4 dollars, 8 dollars et 12 dollars
2. égalité à 10 pages ; B moins cher pour 4 pages ; A moins cher pour 12 pages
3. $f(4) = 10$ et $f(8) = 19$
4. largeur $10 - x$ ; aires 16, 24, 25, 24 et 16 ; maximum 25 m² pour un carré de 5 m

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