Situation d'examen : croissance exponentielle

Secondaire 5 · Fonctions · difficile · Fonctions

Énoncé

Situation originale d'entraînement pour la 5e secondaire, au programme de mathématiques du Québec. Le modèle exponentiel sert en SN et en TS ; la vérification année par année sert aussi en CST pour l'intérêt composé. Elle ne reproduit pas une épreuve ministérielle.

Durée suggérée : 40 minutes. Fais toute la situation avant d'ouvrir la solution.

Partie A — Population

Une ville compte 12 000 habitants. Sa population augmente de 3 % par année. On suppose que ce taux reste constant. Soit $P(t)$ la population après $t$ années.

a) Écris la règle de $P(t)$ . Identifie la valeur initiale et le facteur de croissance.

b) Estime la population après 5 ans. Arrondis à l'habitant près.

c) Après combien d'années la population aura-t-elle doublé ? Donne une démarche avec un logarithme et arrondis la réponse au dixième d'année.

Partie B — Intérêt composé

Un placement de 5 000 dollars rapporte 5 % d'intérêt composé une fois par année. Aucun montant n'est ajouté ni retiré.

d) Après combien d'années entières le capital dépasse-t-il 8 000 dollars pour la première fois ? Tu peux utiliser un logarithme, puis vérifier avec les valeurs, ou comparer les années autour du résultat.

Partie C — Équation logarithmique

e) Résous $\log_{10}(x - 1) = 2$ . Justifie que ta solution respecte le domaine.

Espace de travail

Indice

Une hausse de 3 % multiplie par 1,03 à chaque année. Pour isoler l'exposant, prends le logarithme des deux côtés. Si le résultat n'est pas un entier, compare le capital de l'année d'avant et celui de l'année d'après.

Afficher la correction

Correction détaillée

a) Augmenter de 3 % revient à multiplier par $1 + 0{,}03 = 1{,}03$ .

P(t) = 12000(1{,}03)^t

La valeur initiale est $P(0) = 12000$ habitants. Le facteur de croissance est 1,03.

P(5) = 12000(1{,}03)^5 \approx 13911{,}29

À l'habitant près, la population est de 13 911 habitants.

c) Doubler la population signifie atteindre 24 000 habitants.

12000(1{,}03)^t = 24000

(1{,}03)^t = 2

On prend le logarithme naturel des deux côtés. Il est défini, car les deux membres sont positifs.

t \ln 1{,}03 = \ln 2

t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}03} \approx 23{,}4498

Au dixième d'année près, il faut environ 23,4 ans. Un logarithme dans une autre base donne le même quotient.

d) Après $n$ années entières, le capital est

C(n) = 5000(1{,}05)^n

On résout d'abord l'inéquation.

5000(1{,}05)^n > 8000

(1{,}05)^n > 1{,}6

n > \frac{\ln 1{,}6}{\ln 1{,}05} \approx 9{,}633

Le premier entier strictement supérieur à 9,633 est 10. On vérifie les deux années autour de ce seuil.

Après 9 ans : $5000(1{,}05)^9 \approx 7756{,}64$ dollars, encore sous 8 000.
Après 10 ans : $5000(1{,}05)^{10} \approx 8144{,}47$ dollars, au-dessus de 8 000.

Le capital dépasse donc 8 000 dollars pour la première fois après 10 années entières.

e) $\log_{10}(x - 1)$ n'est défini que si son argument est positif.

x - 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 1

L'équation dit que 10 élevé à l'exposant 2 donne l'argument.

x - 1 = 10^2 = 100

x = 101

Comme $101 > 1$ , la solution appartient au domaine. C'est la seule solution.

Vérification : $\log_{10}(101 - 1) = \log_{10}(100) = 2$ .

Réponse finale

a) $P(t) = 12000(1{,}03)^t$ ; valeur initiale 12 000 ; facteur 1,03
b) 13 911 habitants
c) environ 23,4 ans
d) 10 années entières
e) $x = 101$