Situation d'examen : trajectoire et droite — Secondaire 4 SN

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Énoncé

Situation originale d'entraînement pour la 4e secondaire, séquence Sciences naturelles (SN). Elle ne reproduit pas une épreuve ministérielle.

Durée suggérée : 55 minutes. Conserve les valeurs exactes, sauf si un arrondissement est demandé. Fais toute la situation avant d'ouvrir la solution.

Partie A — Algèbre

a) Factorise complètement $x^2 - 16$ .

b) Factorise complètement $6x^2 + x - 2$ .

c) Simplifie l'expression suivante. Précise les valeurs de $x$ pour lesquelles elle n'est pas définie.

\frac{x^2 - 16}{x^2 - x - 12}

Partie B — Fonction quadratique

La hauteur d'un ballon, en mètres, est donnée par

h(t) = -2t^2 + 12t + 14

où $t$ est le temps en secondes depuis le lancer, et $t \ge 0$ .

d) À quelle hauteur le ballon est-il lancé ?

e) Écris $h$ sous la forme canonique $h(t) = a(t - h)^2 + k$ .

f) Après combien de secondes le ballon atteint-il sa hauteur maximale ? Quelle est cette hauteur ?

g) À quels moments le ballon est-il exactement à 22 m du sol ? Donne les valeurs exactes, puis leur approximation au centième de seconde.

Partie C — Géométrie analytique

On donne les points $P(2,\, 1)$ et $Q(8,\, 9)$ .

h) Détermine les coordonnées du point milieu $M$ du segment $PQ$ .

i) Calcule la distance $PQ$ .

j) Trouve l'équation de la droite $PQ$ sous la forme $y = ax + b$ .

k) Trouve l'équation de la droite perpendiculaire à $PQ$ qui passe par $M$ .

Espace de travail

Indice

Pour la forme canonique, complète le carré ou utilise l'abscisse du sommet $t = -b/(2a)$ . Pour la droite, la pente est la variation de $y$ divisée par la variation de $x$ . Deux droites perpendiculaires non verticales ont des pentes dont le produit vaut $-1$ .

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Correction détaillée

a) On reconnaît une différence de carrés.

x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)

b) On cherche deux entiers de produit $6 \times (-2) = -12$ et de somme 1 : ce sont 4 et $-3$ .

6x^2 + x - 2 = 6x^2 + 4x - 3x - 2 = 2x(3x + 2) - 1(3x + 2) = (2x - 1)(3x + 2)

c) Le dénominateur s'annule lorsque $x^2 - x - 12 = 0$ .

x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)

Donc l'expression n'est pas définie pour $x = 4$ et pour $x = -3$ .

Pour les autres valeurs :

\frac{x^2 - 16}{x^2 - x - 12} = \frac{(x - 4)(x + 4)}{(x - 4)(x + 3)} = \frac{x + 4}{x + 3}

La forme simplifiée est $\dfrac{x + 4}{x + 3}$ , avec $x \ne 4$ et $x \ne -3$ . La restriction $x \ne 4$ vient du dénominateur de départ : elle doit rester même si le facteur $x - 4$ a disparu.

d) Au lancer, $t = 0$ .

h(0) = 14

Le ballon est lancé à 14 m du sol.

e) On met le coefficient dominant en évidence, puis on complète le carré.

h(t) = -2(t^2 - 6t) + 14

La moitié de 6 est 3, et $3^2 = 9$ .

h(t) = -2(t^2 - 6t + 9 - 9) + 14 = -2\big((t - 3)^2 - 9\big) + 14

h(t) = -2(t - 3)^2 + 18 + 14 = -2(t - 3)^2 + 32

f) La forme canonique donne directement le sommet. Comme $a = -2 < 0$ , la parabole s'ouvre vers le bas : le sommet est un maximum.

Le maximum est atteint à $t = 3$ secondes, et la hauteur maximale est 32 m.

On peut vérifier avec $t = -b/(2a) = -12/(2 \times -2) = 3$ , puis $h(3) = -2(9) + 12(3) + 14 = -18 + 36 + 14 = 32$ .

g) On résout $h(t) = 22$ .

-2(t - 3)^2 + 32 = 22

-2(t - 3)^2 = -10

(t - 3)^2 = 5

t - 3 = \sqrt{5} \quad \text{ou} \quad t - 3 = -\sqrt{5}

t = 3 + \sqrt{5} \quad \text{ou} \quad t = 3 - \sqrt{5}

Comme $\sqrt{5} \approx 2{,}24$ ,

t \approx 0{,}76 \text{ s} \quad \text{ou} \quad t \approx 5{,}24 \text{ s}

Les deux valeurs sont positives, donc les deux conviennent dans ce contexte.

h) Le milieu a pour coordonnées les moyennes des coordonnées des extrémités.

M = \left( \frac{2 + 8}{2},\, \frac{1 + 9}{2} \right) = (5,\, 5)

PQ = \sqrt{(8 - 2)^2 + (9 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10

La distance $PQ$ est 10 unités.

j) La pente de $PQ$ est

a = \frac{9 - 1}{8 - 2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}

Avec le point $P(2,\, 1)$ :

y - 1 = \frac{4}{3}(x - 2)

y = \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} + 1 = \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} + \frac{3}{3} = \frac{4}{3}x - \frac{5}{3}

Vérification avec $Q$ : $\frac{4}{3}(8) - \frac{5}{3} = \frac{32 - 5}{3} = 9$ . Le point $Q$ est bien sur la droite.

k) Deux droites perpendiculaires non verticales ont des pentes de produit $-1$ . La pente cherchée est

-\frac{3}{4}

La droite passe par $M(5,\, 5)$ .

y - 5 = -\frac{3}{4}(x - 5)

On peut aussi l'écrire

y = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} + 5 = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} + \frac{20}{4} = -\frac{3}{4}x + \frac{35}{4}

Les deux formes sont équivalentes.

Réponse finale

a) $(x - 4)(x + 4)$
b) $(2x - 1)(3x + 2)$
c) $\dfrac{x + 4}{x + 3}$ , non définie si $x = 4$ ou $x = -3$
d) 14 m
e) $h(t) = -2(t - 3)^2 + 32$
f) à 3 s, hauteur de 32 m
g) $t = 3 \pm \sqrt{5}$ s, soit environ 0,76 s et 5,24 s
h) $M(5,\, 5)$
i) 10
j) $y = \dfrac{4}{3}x - \dfrac{5}{3}$
k) $y - 5 = -\dfrac{3}{4}(x - 5)$