L'arche — secondaire 4 SN

Secondaire 4 · SN · Fonctions · difficile · Fonctions

Énoncé

Exercice original, conçu pour le programme de mathématique du Québec. Ce n'est pas une question d'examen ministériel.

Niveau : secondaire 4. Parcours : Sciences naturelles (SN), et non CST. Thème : fonction quadratique. Notions : zéros, factorisation, sommet, équation du second degré, expression rationnelle et restrictions. Durée : 80 minutes. Matériel : crayon. Total : 60 points.

Une arche est modélisée, en mètres, par

f(x) = -x^2 + 8x

où $x$ est la distance horizontale à partir du pied gauche, avec $0 \le x \le 8$ .

Question 1 — 8 points

Calcule $f(0)$ et $f(8)$ . Que représentent ces valeurs pour l'arche ?

Question 2 — 6 points

Factorise $f(x)$ .

Question 3 — 12 points

En quel $x$ l'arche atteint-elle sa hauteur maximale ? Quelle est cette hauteur ?

Question 4 — 12 points

Pour quelles valeurs de $x$ la hauteur est-elle de 12 m ?

Question 5 — 14 points

Simplifie $\dfrac{x^2 - 16}{x^2 - 6x + 8}$ et indique les restrictions.

Question 6 — 8 points

Résous $2x^2 - 8 = 0$ .

Page du parcours : secondaire 4 SN.

Espace de travail

Indice

Le sommet d'une parabole $ax^2 + bx$ est à mi-chemin des zéros quand la parabole coupe l'axe en deux points symétriques. Avant de simplifier, factorise et note les valeurs qui annulent le dénominateur de départ.

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Correction détaillée

Question 1

$f(0) = 0$ et $f(8) = -64 + 64 = 0$ . L'arche touche le sol à 0 m et à 8 m.

Question 2

$f(x) = -x^2 + 8x = x(8 - x)$ . On peut aussi écrire $-x(x - 8)$ .

Question 3

Les zéros sont 0 et 8. Le sommet est au milieu : $x = 4$ .

$f(4) = -16 + 32 = 16$ . La hauteur maximale est 16 m.

On peut aussi utiliser $x = -\dfrac{b}{2a}$ avec $a = -1$ et $b = 8$ : $x = \dfrac{8}{2} = 4$ .

Question 4

$-x^2 + 8x = 12$ , donc $x^2 - 8x + 12 = 0$ .

$(x - 2)(x - 6) = 0$ , donc $x = 2$ ou $x = 6$ .

Vérification : $f(2) = -4 + 16 = 12$ et $f(6) = -36 + 48 = 12$ .

Question 5

$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$ et $x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)$ .

\dfrac{x^2 - 16}{x^2 - 6x + 8} = \dfrac{x + 4}{x - 2}

à condition que $x \neq 4$ et $x \neq 2$ .

Question 6

$2(x^2 - 4) = 0$ , donc $x^2 = 4$ et $x = 2$ ou $x = -2$ .

Erreurs fréquentes

Donner seulement le sommet en $x$ sans calculer la hauteur, ou simplifier une fraction algébrique sans écrire les restrictions.

À retenir

Pour $f(x) = ax^2 + bx$ , le sommet peut se lire entre les zéros ou avec $x = -\dfrac{b}{2a}$ . Une valeur exclue le reste même après simplification.

Réponse finale

1. 0 et 0 : l'arche touche le sol
2. $x(8 - x)$
3. $x = 4$ ; hauteur de 16 m
4. $x = 2$ ou $x = 6$
5. $\dfrac{x + 4}{x - 2}$ , avec $x \neq 2$ et $x \neq 4$
6. $x = 2$ ou $x = -2$

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