Situation-problème : la murale (étape 1, SN)

Secondaire 4 · sn · Algèbre · difficile · Algèbre

Énoncé

Situation-problème originale pour la 4e secondaire, séquence Sciences naturelles. Elle porte sur l'étape 1 : factorisation, expression rationnelle et équation du second degré. Elle ne reproduit pas une épreuve ministérielle.

Durée suggérée : 50 minutes. Garde les valeurs exactes, sauf si un arrondissement est demandé.

Une murale rectangulaire mesure 12 m sur 8 m. On l'entoure d'un cadre de largeur uniforme $x$ mètres, avec $x > 0$ .

a) Montre que l'aire totale, murale et cadre, est $4x^2 + 40x + 96$ , puis factorise complètement ce polynôme.

b) Le comité veut une aire totale de 192 m². Écris l'équation et résous-la par factorisation. Quelle est la largeur du cadre ?

c) L'aire du cadre seul est $4x^2 + 40x$ . Montre que le rapport entre l'aire du cadre et l'aire totale se simplifie ainsi :

\frac{4x^2 + 40x}{4x^2 + 40x + 96} = \frac{x(x + 10)}{(x + 4)(x + 6)}

Précise les valeurs de $x$ pour lesquelles l'expression de départ n'est pas définie. Calcule ensuite ce rapport pour la largeur trouvée en b).

d) Le temps de séchage $t$ , en heures, est modélisé par

t^2 - 2t - 4 = 0

Résous l'équation à l'aide de la formule quadratique. Conserve la solution qui a du sens dans le contexte, sous forme exacte, puis donne-en une approximation au centième d'heure.

Espace de travail

Indice

L'aire totale est $(12 + 2x)(8 + 2x)$ . Après avoir mis 4 en évidence, factorise le trinôme. Pour le rapport, factorise le numérateur et le dénominateur avant de simplifier. Dans la formule quadratique, $\Delta = b^2 - 4ac$ , et un temps négatif se rejette.

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Correction détaillée

a) Le cadre ajoute $x$ mètres de chaque côté. Les dimensions extérieures sont $12 + 2x$ et $8 + 2x$ .

(12 + 2x)(8 + 2x) = 96 + 24x + 16x + 4x^2 = 4x^2 + 40x + 96

On met 4 en évidence, puis on factorise le trinôme. Deux nombres de produit 24 et de somme 10 sont 4 et 6.

4x^2 + 40x + 96 = 4(x^2 + 10x + 24) = 4(x + 4)(x + 6)

4x^2 + 40x + 96 = 192

4x^2 + 40x - 96 = 0

x^2 + 10x - 24 = 0

Deux nombres de produit $-24$ et de somme 10 sont 12 et $-2$ .

(x + 12)(x - 2) = 0

Donc $x = -12$ ou $x = 2$ . Comme $x > 0$ , la largeur du cadre est 2 m.

Vérification : les dimensions extérieures sont 16 m et 12 m, et $16 \times 12 = 192$ m².

c) Numérateur :

4x^2 + 40x = 4x(x + 10)

Dénominateur, déjà factorisé en a) :

4x^2 + 40x + 96 = 4(x + 4)(x + 6)

Donc, là où le dénominateur n'est pas nul,

\frac{4x(x + 10)}{4(x + 4)(x + 6)} = \frac{x(x + 10)}{(x + 4)(x + 6)}

Le dénominateur de départ est nul si $x + 4 = 0$ ou $x + 6 = 0$ , c'est-à-dire si $x = -4$ ou $x = -6$ . L'expression n'est pas définie pour ces deux valeurs. Dans le contexte, $x > 0$ , donc ces restrictions ne correspondent pas à une largeur réelle, mais elles doivent être écrites pour l'expression algébrique.

Pour $x = 2$ :

\frac{2(2 + 10)}{(2 + 4)(2 + 6)} = \frac{2 \times 12}{6 \times 8} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}

Le cadre occupe la moitié de l'aire totale. C'est cohérent : la murale mesure $12 \times 8 = 96$ m² et l'aire totale est 192 m², donc le cadre mesure aussi 96 m².

d) Pour $t^2 - 2t - 4 = 0$ , on a $a = 1$ , $b = -2$ et $c = -4$ .

\Delta = (-2)^2 - 4(1)(-4) = 4 + 16 = 20

t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 \times 5}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}

$\sqrt{5} \approx 2{,}24$ , donc $1 - \sqrt{5} \approx -1{,}24 < 0$ . Un temps négatif n'a pas de sens. On retient

t = 1 + \sqrt{5} \approx 3{,}24

Le séchage dure $1 + \sqrt{5}$ heures, soit environ 3,24 h.

Réponse finale

a) $4(x + 4)(x + 6)$
b) $x = 2$ m
c) non définie si $x = -4$ ou $x = -6$ ; pour $x = 2$ , le rapport vaut $\dfrac{1}{2}$
d) $t = 1 + \sqrt{5}$ heure, soit environ 3,24 h

Situation-problème : la murale (étape 1, SN)

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