Situation-problème : le spectacle (étape 1, CST)

Secondaire 4 · cst · Fonctions · difficile · Fonctions

Énoncé

Situation-problème originale pour la 4e secondaire, séquence Culture, société et technique. Elle porte sur l'étape 1 : fonction affine, taux de variation et système d'équations. Elle ne reproduit pas une épreuve ministérielle.

Durée suggérée : 40 minutes. Justifie chaque choix de forfait à partir des calculs.

Le comité organise un spectacle. Deux entreprises proposent l'éclairage. Soit $h$ le nombre d'heures, avec $h \ge 0$ .

Forfait Scène : 60 dollars de déplacement, puis 15 dollars par heure.
Forfait Studio : aucun déplacement, puis 35 dollars par heure.

a) Écris la règle de chaque forfait. Pour chacun, donne le taux de variation et la valeur initiale, avec les unités.

b) Calcule le coût de chaque forfait pour 4 heures.

c) Pour quelle durée les deux forfaits coûtent-ils le même montant ? Quel est ce montant ? Interprète le résultat comme le point d'intersection des deux droites.

d) Quel forfait est le plus avantageux si le spectacle dure moins de 3 heures ? Et s'il dure plus de 3 heures ?

Le comité achète aussi du matériel. Trois projecteurs et deux câbles coûtent 210 dollars. Un projecteur et quatre câbles coûtent 150 dollars. Tous les projecteurs ont le même prix, et tous les câbles ont le même prix.

e) Quel est le prix d'un projecteur ? Quel est le prix d'un câble ?

Espace de travail

Indice

Un forfait de la forme $ah + b$ a un taux de variation $a$ et une valeur initiale $b$ . Pour comparer les forfaits, égale les deux règles. Pour le matériel, isole le prix d'un projecteur dans la deuxième équation, puis substitue.

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Correction détaillée

a) Le forfait Scène part de 60 dollars et augmente de 15 dollars à chaque heure.

S(h) = 15h + 60

Son taux de variation est 15 dollars par heure. Sa valeur initiale est 60 dollars.

Le forfait Studio part de 0 dollar et augmente de 35 dollars à chaque heure.

T(h) = 35h

Son taux de variation est 35 dollars par heure. Sa valeur initiale est 0 dollar.

S(4) = 15 \times 4 + 60 = 120

T(4) = 35 \times 4 = 140

Pour 4 heures, Scène coûte 120 dollars et Studio coûte 140 dollars.

c) On compare les deux règles.

15h + 60 = 35h

60 = 20h

h = 3

T(3) = 35 \times 3 = 105

On vérifie avec l'autre règle : $S(3) = 15 \times 3 + 60 = 105$ .

Les forfaits coûtent tous les deux 105 dollars pour 3 heures. Les droites se croisent au point $(3,\, 105)$ : 3 heures et 105 dollars.

d) On compare une durée de chaque côté de 3 heures.

Pour 2 heures :

S(2) = 15 \times 2 + 60 = 90 \qquad T(2) = 70

Studio est moins cher.

Pour 4 heures, le calcul de b) donne 120 dollars pour Scène et 140 dollars pour Studio. Scène est moins cher.

Donc Studio est plus avantageux si le spectacle dure moins de 3 heures. Scène est plus avantageux s'il dure plus de 3 heures. À exactement 3 heures, les deux coûtent le même prix. Cela vient du fait que Studio n'a pas de frais de départ, mais un taux horaire plus élevé.

e) Soit $p$ le prix d'un projecteur et $c$ le prix d'un câble, en dollars.

\begin{cases} 3p + 2c = 210 \\ p + 4c = 150 \end{cases}

De la deuxième équation, $p = 150 - 4c$ . On substitue dans la première.

3(150 - 4c) + 2c = 210

450 - 12c + 2c = 210

450 - 10c = 210

-10c = -240

c = 24

p = 150 - 4 \times 24 = 150 - 96 = 54

Un projecteur coûte 54 dollars et un câble coûte 24 dollars.

Vérification dans la première équation : $3 \times 54 + 2 \times 24 = 162 + 48 = 210$ .

Réponse finale

a) $S(h) = 15h + 60$ : 15 dollars par heure, valeur initiale 60 dollars. $T(h) = 35h$ : 35 dollars par heure, valeur initiale 0 dollar.
b) Scène : 120 dollars. Studio : 140 dollars.
c) 3 heures, pour 105 dollars. Point d'intersection $(3,\, 105)$ .
d) Moins de 3 h : Studio. Plus de 3 h : Scène.
e) Projecteur : 54 dollars. Câble : 24 dollars.

Situation-problème : le spectacle (étape 1, CST)

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