Situation d'examen : glissade et cantine — Secondaire 4 CST

Secondaire 4 · cst · Trigonométrie · difficile · Trigonométrie

Énoncé

Situation originale d'entraînement pour la 4e secondaire, séquence Culture, société et technique (CST). Elle ne reproduit pas une épreuve ministérielle.

Durée suggérée : 45 minutes. Arrondis seulement lorsque c'est demandé. Fais toute la situation avant d'ouvrir la solution.

Partie A — Trigonométrie

Une glissade, vue de côté, forme un triangle rectangle. Elle descend d'une hauteur de 5 m, et la distance horizontale entre le haut et le bas est de 12 m. Soit $\theta$ l'angle entre la glissade et le sol.

a) Quelle est la longueur de la glissade ?

b) Calcule la mesure de $\theta$ , au dixième de degré près.

c) Sans utiliser la valeur approchée de $\theta$ , écris $\sin \theta$ et $\cos \theta$ sous forme de fractions irréductibles.

Partie B — Système d'équations

À la cantine, 2 sandwichs et 1 jus coûtent 16 dollars. Un sandwich et 2 jus coûtent 14 dollars. Les prix sont les mêmes pour chaque article du même type.

d) Quel est le prix d'un sandwich ? Quel est le prix d'un jus ?

Partie C — Statistique

Cinq élèves ont obtenu les notes suivantes à un mini-test : 62, 74, 81, 55 et 78.

e) Calcule la moyenne de ces notes, puis leur étendue.

Espace de travail

Indice

5, 12 et 13 forment un triplet de Pythagore. L'angle avec le sol se trouve avec la tangente : côté opposé divisé par côté adjacent. Dans le système, isole le prix du jus dans la première équation, puis substitue.

Afficher la correction

Correction détaillée

a) La glissade est l'hypoténuse.

L = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13

La glissade mesure 13 m.

b) Par rapport à l'angle $\theta$ au sol, le côté opposé mesure 5 m et le côté adjacent mesure 12 m.

\tan \theta = \frac{5}{12}

\theta = \tan^{-1}\!\left(\frac{5}{12}\right) \approx 22{,}6199^{\circ}

Au dixième de degré près, $\theta \approx 22{,}6^{\circ}$ .

c) L'hypoténuse mesure 13 m. Donc

\sin \theta = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{5}{13}

\cos \theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{12}{13}

Ces fractions sont déjà irréductibles.

d) Soit $s$ le prix d'un sandwich et $j$ le prix d'un jus, en dollars.

\begin{cases} 2s + j = 16 \\ s + 2j = 14 \end{cases}

De la première équation, $j = 16 - 2s$ . On substitue dans la seconde.

s + 2(16 - 2s) = 14

s + 32 - 4s = 14

-3s = -18

s = 6

j = 16 - 2 \times 6 = 4

Un sandwich coûte 6 dollars et un jus coûte 4 dollars.

Vérification dans la seconde équation : $6 + 2 \times 4 = 14$ . Les deux équations sont satisfaites.

e) La moyenne est la somme des notes divisée par leur nombre.

62 + 74 + 81 + 55 + 78 = 350

\bar{x} = \frac{350}{5} = 70

L'étendue est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite.

81 - 55 = 26

La moyenne est 70 et l'étendue est 26.

Réponse finale

a) 13 m
b) $22{,}6^{\circ}$
c) $\sin \theta = \dfrac{5}{13}$ et $\cos \theta = \dfrac{12}{13}$
d) sandwich : 6 dollars ; jus : 4 dollars
e) moyenne 70 ; étendue 26