Le terrain de jeu — secondaire 3

Secondaire 3 · Algèbre · difficile · Algèbre

Énoncé

Exercice original, conçu pour le programme de mathématique du Québec. Ce n'est pas une question d'examen ministériel.

Niveau : secondaire 3. Thème : algèbre et géométrie. Notions : développement, mise en évidence, différence de carrés, équation du second degré, théorème de Pythagore, taux de variation, inéquation. Durée : 75 minutes. Matériel : crayon. Total : 50 points.

On trace un terrain. Certaines mesures dépendent d'une valeur $x$ , en mètres, avec $x > 0$ .

Question 1 — 8 points

Développe et réduis $(x + 4)(x + 3)$ .

Question 2 — 8 points

Factorise $8x + 12$ et $x^2 - 49$ .

Question 3 — 10 points

Résous $x^2 - 6x + 8 = 0$ .

Question 4 — 8 points

Un triangle rectangle a des côtés de l'angle droit de 8 m et 15 m. Quelle est l'hypoténuse ?

Question 5 — 10 points

Une fonction affine passe par $(0, 1)$ et $(3, 10)$ .

a) Quel est son taux de variation ?

b) Écris sa règle et calcule $f(5)$ .

Question 6 — 6 points

Résous $2x + 5 > 15$ .

Page du niveau : secondaire 3.

Espace de travail

Indice

Pour $x^2 - 6x + 8$ , cherche deux nombres de produit 8 et de somme 6. L'hypoténuse est le côté le plus long. Le taux de variation est la variation de $y$ divisée par la variation de $x$ .

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Correction détaillée

Question 1

$(x + 4)(x + 3) = x^2 + 3x + 4x + 12 = x^2 + 7x + 12$ .

Question 2

$8x + 12 = 4(2x + 3)$ .

$x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)$ .

Question 3

Deux nombres de produit 8 et de somme 6 : 2 et 4.

$(x - 2)(x - 4) = 0$ , donc $x = 2$ ou $x = 4$ .

Vérification : $4 - 12 + 8 = 0$ et $16 - 24 + 8 = 0$ .

Question 4

$c^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$ . $c = \sqrt{289} = 17$ . L'hypoténuse mesure 17 m.

Question 5

a) $\dfrac{10 - 1}{3 - 0} = 3$ .

b) $f(x) = 3x + 1$ . $f(5) = 15 + 1 = 16$ . Vérification : $f(3) = 9 + 1 = 10$ .

Question 6

$2x > 10$ , donc $x > 5$ .

Erreurs fréquentes

Oublier un terme en développant, ou utiliser un côté autre que l'hypoténuse dans Pythagore.

À retenir

Une différence de carrés se factorise en $(a - b)(a + b)$ . Le taux de variation d'une droite est constant.

Réponse finale

1. $x^2 + 7x + 12$
2. $4(2x + 3)$ et $(x - 7)(x + 7)$
3. $x = 2$ ou $x = 4$
4. 17 m
5. taux 3 ; $f(x) = 3x + 1$ ; $f(5) = 16$
6. $x > 5$

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