Situation-problème : le potager (étape 1)

Secondaire 3 · Algèbre · difficile · Algèbre

Énoncé

Situation-problème originale pour la 3e secondaire. Elle porte sur les contenus habituellement vus à l'étape 1 : opérations sur les polynômes, factorisation et équation. Elle ne reproduit pas une épreuve ministérielle.

Durée suggérée : 40 minutes. Fais toute la situation avant d'ouvrir la solution.

Le comité vert aménage un potager rectangulaire. Sa longueur mesure $(x + 6)$ mètres et sa largeur mesure $(x + 2)$ mètres, avec $x > 0$ .

a) Développe et réduis le polynôme qui représente l'aire $A(x)$ du potager, en mètres carrés.

b) La terre coûte $(5x^2 + 14x + 8)$ dollars et une subvention couvre $(2x^2 + 6x + 3)$ dollars. Écris, sous forme réduite, le polynôme du coût qui reste à payer.

c) Le nombre de sacs de semences est $3x^2 + 12x$ . Factorise complètement cette expression.

d) À côté du potager, une terrasse carrée a un côté de $2x$ mètres. On y découpe un bassin carré de 6 m de côté. L'aire qui reste est $4x^2 - 36$ . Factorise complètement cette aire.

e) Le comité veut que l'aire du potager soit de 60 m². Trouve $x$ , puis les dimensions réelles du potager.

f) Avec cette valeur de $x$ , la clôture suit le périmètre du potager et coûte 8 dollars le mètre. Quel est le coût de la clôture ?

Espace de travail

Indice

Développe $(x + 6)(x + 2)$ terme par terme. Pour factoriser, commence toujours par une mise en évidence. Dans $4x^2 - 36$ , mets 4 en évidence, puis reconnais une différence de carrés. Rejette une solution négative, car $x > 0$ .

Afficher la correction

Correction détaillée

a) On multiplie les deux binômes.

A(x) = (x + 6)(x + 2) = x^2 + 2x + 6x + 12 = x^2 + 8x + 12

L'aire est $x^2 + 8x + 12$ mètres carrés.

b) On soustrait les termes semblables.

(5x^2 + 14x + 8) - (2x^2 + 6x + 3) = 5x^2 + 14x + 8 - 2x^2 - 6x - 3

= 3x^2 + 8x + 5

Le coût qui reste est $3x^2 + 8x + 5$ dollars.

c) Le facteur commun est $3x$ .

3x^2 + 12x = 3x(x + 4)

d) On met d'abord 4 en évidence.

4x^2 - 36 = 4(x^2 - 9)

$x^2 - 9$ est une différence de carrés, car $9 = 3^2$ .

4(x^2 - 9) = 4(x - 3)(x + 3)

e) On pose $A(x) = 60$ .

x^2 + 8x + 12 = 60

x^2 + 8x - 48 = 0

On cherche deux nombres de produit $-48$ et de somme 8 : 12 et $-4$ .

(x + 12)(x - 4) = 0

Donc $x = -12$ ou $x = 4$ . Comme $x > 0$ , on retient $x = 4$ .

La longueur est $4 + 6 = 10$ m et la largeur est $4 + 2 = 6$ m.

Vérification : $10 \times 6 = 60$ m².

f) Le périmètre est

2(10 + 6) = 32 \text{ m}

32 \times 8 = 256

La clôture coûte 256 dollars.

Réponse finale

a) $A(x) = x^2 + 8x + 12$
b) $3x^2 + 8x + 5$ dollars
c) $3x(x + 4)$
d) $4(x - 3)(x + 3)$
e) $x = 4$ ; potager de 10 m sur 6 m
f) 256 dollars

Situation-problème : le potager (étape 1)

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