Fonctions en secondaire 3 au Québec : exercice complet avec corrigé

Secondaire 3 · Fonctions · difficile · Fonctions

Énoncé

Exercice complet sur les fonctions pour la 3e secondaire, selon le programme de mathématique du Québec. Il réunit les questions habituellement posées sur les fonctions affines : reconnaître une fonction, variables, tableau de valeurs, taux de variation, valeur initiale, règle, croissance, évaluation, résolution, zéro, domaine et comparaison. Il ne reproduit pas une épreuve ministérielle.

Les élèves peuvent le faire seuls. Les parents peuvent l'utiliser pour revoir la démarche avant d'ouvrir la solution.

Durée suggérée : 75 minutes. Total : 60 points.

Question 1 — 4 points

On a noté des couples $(x, y)$ .

$x$	1	2	2	3
$y$	8	11	14	17

Cette relation est-elle une fonction ? Justifie.

Question 2 — 4 points

Une imprimerie de Québec demande 15 dollars pour préparer une commande, puis 3 dollars par affiche. Le coût est donné par

f(x) = 3x + 15

où $x$ est le nombre d'affiches et $f(x)$ le coût en dollars.

a) Quelle est la variable indépendante ? La variable dépendante ?

b) Pourquoi cette relation est-elle une fonction ?

Question 3 — 6 points

Complète le tableau de valeurs de $f$ .

$x$	0	1	2	4	10
$f(x)$

Question 4 — 6 points

a) Calcule le taux de variation de $f$ entre $x = 0$ et $x = 2$ .

b) Calcule le taux de variation entre $x = 2$ et $x = 10$ .

c) Que peux-tu conclure ?

Question 5 — 6 points

a) Quelle est la valeur initiale de $f$ ?

b) Explique le sens du taux de variation et de la valeur initiale dans la situation.

Question 6 — 4 points

La fonction $f$ est-elle croissante ou décroissante ? Justifie avec le taux de variation.

Question 7 — 4 points

Quel est le coût de 7 affiches ?

Question 8 — 6 points

Pour quel nombre d'affiches le coût est-il de 42 dollars ? Vérifie.

Question 9 — 4 points

a) Trouve le zéro de $f$ .

b) Ce zéro a-t-il un sens dans la situation ? Explique.

Question 10 — 6 points

a) Quel domaine convient si on ne peut pas commander un nombre négatif d'affiches et si $x$ est un nombre entier ?

b) Décris alors l'image de $f$ .

Question 11 — 6 points

Une autre imprimerie utilise

g(x) = 5x + 6

a) Compare les coûts de 2 affiches, puis de 8 affiches.

b) Pour quelle valeur de $x$ les deux coûts sont-ils égaux ?

c) À partir de quel nombre entier d'affiches l'offre $f$ devient-elle moins chère ?

Question 12 — 4 points

Un réservoir contient 20 litres d'eau. Il se vide de 2 litres par minute. La hauteur n'est pas demandée : le volume restant, en litres, est

h(t) = -2t + 20

où $t$ est le temps en minutes.

a) Quel est le taux de variation ? La fonction est-elle croissante ou décroissante ?

b) Quel volume reste-t-il après 3 minutes ?

c) Après combien de minutes le réservoir est-il vide ?

D'autres exercices de 3e secondaire sont regroupés sur la page Secondaire 3. Pour un accompagnement, les familles peuvent réserver un cours.

Espace de travail

Indice

Une relation est une fonction seulement si chaque valeur de $x$ a une seule image. Le taux de variation d'une fonction affine est constant :

a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}

La valeur initiale est $f(0)$ . Pour comparer $f$ et $g$ , calcule d'abord chaque coût, puis résous $f(x) = g(x)$ .

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Correction détaillée

Question 1

La valeur $x = 2$ est associée à la fois à 11 et à 14. Une même abscisse a deux images. Ce n'est pas une fonction.

Question 2

a) La variable indépendante est $x$ , le nombre d'affiches. La variable dépendante est $f(x)$ , le coût en dollars.

b) Chaque nombre d'affiches produit un seul coût, donné par la règle $3x + 15$ . La relation est donc une fonction.

Question 3

f(0) = 15

f(1) = 3 + 15 = 18

f(2) = 6 + 15 = 21

f(4) = 12 + 15 = 27

f(10) = 30 + 15 = 45

$x$	0	1	2	4	10
$f(x)$	15	18	21	27	45

Question 4

\dfrac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \dfrac{21 - 15}{2} = \dfrac{6}{2} = 3

\dfrac{f(10) - f(2)}{10 - 2} = \dfrac{45 - 21}{8} = \dfrac{24}{8} = 3

c) Le taux de variation est le même. Il est constant, donc $f$ est une fonction affine. Cela confirme le coefficient de $x$ dans la règle.

Question 5

a) La valeur initiale est $f(0) = 15$ .

b) Les 15 dollars sont le coût de préparation, demandé même si on ne commande aucune affiche. Le taux 3 signifie que chaque affiche supplémentaire ajoute 3 dollars au coût.

Question 6

Le taux de variation vaut 3, un nombre positif. Quand $x$ augmente, $f(x)$ augmente. La fonction est croissante.

Question 7

f(7) = 3 \times 7 + 15 = 21 + 15 = 36

Sept affiches coûtent 36 dollars.

Question 8

3x + 15 = 42

3x = 27

x = 9

Vérification : $f(9) = 27 + 15 = 42$ . Il faut commander 9 affiches.

Question 9

3x + 15 = 0

3x = -15

x = -5

Le zéro est $-5$ . Le graphique coupe l'axe des abscisses au point $(-5, 0)$ .

b) Non. On ne peut pas commander $-5$ affiches. Dans la situation, le coût ne vaut jamais 0 : il reste au moins les 15 dollars de préparation.

Question 10

a) $x$ est un nombre entier supérieur ou égal à 0 :

x \in \{0, 1, 2, 3, \ldots\}

b) Les coûts sont 15, 18, 21, 27, puis tous les nombres de la forme $15 + 3x$ avec $x$ entier et $x \ge 0$ . L'image est

\{15, 18, 21, 24, 27, \ldots\}

Question 11

a) Pour 2 affiches :

f(2) = 21 \qquad g(2) = 5 \times 2 + 6 = 16

L'offre $g$ est moins chère.

Pour 8 affiches :

f(8) = 24 + 15 = 39 \qquad g(8) = 40 + 6 = 46

L'offre $f$ est moins chère.

3x + 15 = 5x + 6

15 - 6 = 5x - 3x

9 = 2x

x = 4{,}5

Les coûts sont égaux à 4,5 affiches, mais ce nombre n'est pas entier. Le coût commun serait

f(4{,}5) = 3 \times 4{,}5 + 15 = 28{,}5

c) Pour 4 affiches : $f(4) = 27$ et $g(4) = 26$ . L'offre $g$ reste moins chère.

Pour 5 affiches : $f(5) = 30$ et $g(5) = 31$ . L'offre $f$ devient moins chère.

Donc $f$ est moins chère à partir de 5 affiches.

Question 12

a) Le taux de variation est $-2$ . Il est négatif, donc $h$ est décroissante : le volume diminue de 2 litres par minute.

h(3) = -2 \times 3 + 20 = 14

Il reste 14 litres.

-2t + 20 = 0

-2t = -20

t = 10

Le réservoir est vide après 10 minutes. Vérification : $h(10) = -20 + 20 = 0$ .

Réponse finale

1. Non : $x = 2$ a deux images, 11 et 14.
2. $x$ est indépendante, $f(x)$ est dépendante ; chaque $x$ a une seule image.
3. 15, 18, 21, 27 et 45
4. Les deux taux valent 3 ; $f$ est affine.
5. Valeur initiale 15 dollars, soit les frais de préparation.
6. Croissante, car le taux est positif.
7. 36 dollars
8. 9 affiches
9. Zéro $x = -5$ , sans sens dans la situation.
10. Nombres entiers $x \ge 0$ ; image $\{15, 18, 21, \ldots\}$
11. $g$ moins chère pour 2 affiches, $f$ moins chère pour 8 ; égalité à $x = 4{,}5$ ; $f$ moins chère à partir de 5 affiches.
12. Taux $-2$ , fonction décroissante ; 14 litres ; 10 minutes.

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