Situation d'examen : location et échelle

Secondaire 3 · Algèbre · difficile · Algèbre

Énoncé

Situation originale d'entraînement pour la 3e secondaire, au programme de mathématiques du Québec. Elle ne reproduit pas une épreuve ministérielle.

Durée suggérée : 40 minutes. Fais toute la situation avant d'ouvrir l'indice ou la solution.

Partie A — Fonction affine

Le coût de location d'une salle, en dollars, est donné par

C(h) = 45h + 60

où $h$ est le nombre d'heures, et $h \ge 0$ .

a) Quel est le coût fixe, en dollars ?

b) Quel est le taux de variation ? Précise les unités.

c) Calcule $C(4)$ .

d) Pendant combien d'heures la salle a-t-elle été louée si le coût est de 375 dollars ?

Partie B — Algèbre

e) Factorise complètement $3x^2 - 12$ .

f) Factorise $x^2 - 5x + 6$ , puis résous $x^2 - 5x + 6 = 0$ .

Partie C — Triangle rectangle

Une échelle est appuyée contre un mur. Son pied est à 2,4 m du mur, et elle atteint une hauteur de 3,2 m sur le mur. Le sol est perpendiculaire au mur.

g) Quelle est la longueur de l'échelle ?

h) Quelle est l'aire du triangle formé par l'échelle, le mur et le sol ?

Espace de travail

Indice

Dans $C(h) = 45h + 60$ , 60 est payé même pour zéro heure, et 45 est le prix de chaque heure. Pour $x^2 - 5x + 6$ , cherche deux nombres de produit 6 et de somme 5. L'échelle, le mur et le sol forment un triangle rectangle.

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Correction détaillée

a) Le coût fixe est le terme indépendant de $h$ , soit le coût lorsque $h = 0$ .

C(0) = 60

Le coût fixe est 60 dollars.

b) Le taux de variation est le coefficient de $h$ . Il vaut 45 dollars par heure : chaque heure supplémentaire ajoute 45 dollars.

C(4) = 45 \times 4 + 60 = 180 + 60 = 240

Quatre heures coûtent 240 dollars.

d) On résout $C(h) = 375$ .

45h + 60 = 375

45h = 315

h = \frac{315}{45} = 7

La salle a été louée 7 heures. Vérification : $45 \times 7 + 60 = 315 + 60 = 375$ .

e) On met d'abord en évidence le facteur commun 3.

3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4)

Puis on reconnaît une différence de carrés, $x^2 - 2^2$ .

3(x^2 - 4) = 3(x - 2)(x + 2)

f) On cherche deux nombres dont le produit est 6 et la somme est 5 : ce sont 2 et 3.

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

L'équation devient

(x - 2)(x - 3) = 0

Un produit est nul seulement si un des facteurs est nul. Donc $x - 2 = 0$ ou $x - 3 = 0$ , c'est-à-dire

x = 2 \quad \text{ou} \quad x = 3

g) L'échelle est l'hypoténuse du triangle rectangle.

L = \sqrt{2{,}4^2 + 3{,}2^2} = \sqrt{5{,}76 + 10{,}24} = \sqrt{16} = 4

L'échelle mesure 4 m.

h) Les côtés perpendiculaires mesurent 2,4 m et 3,2 m. L'aire d'un triangle rectangle est la moitié du produit de ces côtés.

A = \frac{2{,}4 \times 3{,}2}{2} = \frac{7{,}68}{2} = 3{,}84

L'aire est 3,84 m².

Réponse finale

a) 60 dollars
b) 45 dollars par heure
c) 240 dollars
d) 7 heures
e) $3(x - 2)(x + 2)$
f) $(x - 2)(x - 3)$ , donc $x = 2$ ou $x = 3$
g) 4 m
h) 3,84 m²