Examen complet de mathématiques — Secondaire 4 SN

Cet examen pratique est un outil d'entraînement original. Il n'est pas une copie d'une épreuve ministérielle. Il couvre les grands thèmes de la séquence Sciences naturelles (SN) en 4e secondaire : algèbre, fonction quadratique, géométrie analytique, systèmes d'équations et trigonométrie du triangle rectangle.

Consignes

• Durée suggérée : 2 h 30.
• Matériel : calculatrice scientifique, règle et crayon. Aucun aide-mémoire.
• Démarche : la majorité des points porte sur la méthode, pas seulement sur la réponse finale.
• Arrondissement : lorsque la calculatrice est nécessaire, conservez au moins quatre décimales dans les calculs intermédiaires, puis arrondissez comme demandé.
• Total : 100 points.

Question 1 — Factorisation et expression rationnelle (12 points)

a) Factorisez complètement $x^2 - 9$. (2 points)

b) Factorisez complètement $2x^2 - 8x - 24$. (4 points)

c) Simplifiez l'expression suivante et précisez les valeurs de $x$ pour lesquelles elle n'est pas définie. (6 points)

$$\frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}$$

Question 2 — Équations et inéquation du second degré (12 points)

a) Résolvez $x^2 - 5x + 6 = 0$. (4 points)

b) Résolvez $2x^2 + 3x - 2 = 0$. (4 points)

c) Résolvez $x^2 - 5x + 6 \le 0$. Donnez l'ensemble-solution. (4 points)

Question 3 — Fonction quadratique (24 points)

La hauteur d'un ballon, en mètres, est donnée par

$$h(t) = -5t^2 + 20t + 1$$

où $t$ est le temps en secondes depuis le lancer, et $t \ge 0$.

a) À quelle hauteur le ballon est-il lancé ? (3 points)

b) Écrivez $h$ sous la forme canonique $h(t) = a(t - h)^2 + k$. (8 points)

c) Après combien de secondes le ballon atteint-il sa hauteur maximale ? Quelle est cette hauteur ? (5 points)

d) À quels moments le ballon est-il exactement à 16 m du sol ? (6 points)

e) Dans ce contexte, que représente le sommet de la parabole ? (2 points)

Question 4 — Géométrie analytique (20 points)

On donne les points $A(1,\,-3)$ et $B(7,\,5)$.

a) Déterminez les coordonnées du point milieu $M$ du segment $AB$. (4 points)

b) Calculez la distance $AB$. (4 points)

c) Calculez la pente de la droite $AB$. (3 points)

d) Trouvez l'équation fonctionnelle de la droite $AB$. (5 points)

e) Trouvez l'équation de la droite perpendiculaire à $AB$ qui passe par $M$. (4 points)

Question 5 — Système d'équations (12 points)

À la librairie de l'école, 3 cahiers et 2 stylos coûtent 19,50 $. Un cahier et 4 stylos coûtent 16,50$.

a) Écrivez un système de deux équations qui représente la situation. Précisez le sens des variables. (4 points)

b) Déterminez le prix d'un cahier et le prix d'un stylo. (6 points)

c) Vérifiez vos réponses dans les deux équations. (2 points)

Question 6 — Trigonométrie du triangle rectangle (20 points)

La calculatrice est autorisée. Montrez la relation utilisée avant d'arrondir.

a) Une personne dont les yeux sont à 1,6 m du sol se tient à 40 m de la base d'un édifice. Elle mesure un angle d'élévation de 32° jusqu'au sommet. Quelle est la hauteur de l'édifice, au dixième de mètre près ? (8 points)

b) Une rampe de 8 m de long fait un angle de 12° avec le sol horizontal. Quelle hauteur cette rampe permet-elle d'atteindre, au centimètre près ? (6 points)

c) Dans un triangle rectangle, un angle aigu mesure 40° et l'hypoténuse mesure 15 cm. Quelle est la mesure du côté adjacent à cet angle, au dixième de centimètre près ? (6 points)

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Corrigé détaillé

Les réponses courtes sont regroupées ici. La démarche complète suit le tableau.

Question	Réponse finale
1a	$(x - 3)(x + 3)$
1b	$2(x - 6)(x + 2)$
1c	$\dfrac{x + 3}{x + 2}$, si $x \ne 3$ et $x \ne -2$
2a	$x = 2$ ou $x = 3$
2b	$x = \dfrac{1}{2}$ ou $x = -2$
2c	$2 \le x \le 3$
3a	1 m
3b	$h(t) = -5(t - 2)^2 + 21$
3c	21 m après 2 s
3d	à 1 s et à 3 s
4a	$M(4,\,1)$
4b	10 unités
4c	$\dfrac{4}{3}$
4d	$y = \dfrac{4}{3}x - \dfrac{13}{3}$
4e	$y = -\dfrac{3}{4}x + 4$
5	cahier : 4,50 $; stylo : 3,00$
6a	26,6 m
6b	1,66 m
6c	11,5 cm

Question 1

a) Différence de carrés :

$$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$$

b) Mise en évidence, puis trinôme :

$$2x^2 - 8x - 24 = 2(x^2 - 4x - 12) = 2(x - 6)(x + 2)$$

Vérification : $(x - 6)(x + 2) = x^2 - 4x - 12$.

c) On factorise le numérateur et le dénominateur.

$$\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)}$$

Le dénominateur est nul si $x - 3 = 0$ ou $x + 2 = 0$, donc si $x = 3$ ou $x = -2$. Pour les autres valeurs, on simplifie par $x - 3$ :

$$\frac{x + 3}{x + 2}$$

Question 2

a) $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$. Les solutions sont $x = 2$ et $x = 3$.

b) On cherche deux nombres dont le produit est $2 \times (-2) = -4$ et la somme est 3 : 4 et $-1$.

$$2x^2 + 4x - x - 2 = 2x(x + 2) - 1(x + 2) = (2x - 1)(x + 2)$$

Donc $2x - 1 = 0$ ou $x + 2 = 0$, soit $x = \dfrac{1}{2}$ ou $x = -2$.

c) La parabole $y = x^2 - 5x + 6$ s'ouvre vers le haut et s'annule en $x = 2$ et $x = 3$. Elle est négative ou nulle entre les racines :

$$2 \le x \le 3$$

Question 3

a) Au lancer, $t = 0$ :

$$h(0) = 1$$

Le ballon est lancé à 1 m du sol.

b) On complète le carré.

$$h(t) = -5(t^2 - 4t) + 1 = -5(t^2 - 4t + 4 - 4) + 1$$ $$h(t) = -5\big((t - 2)^2 - 4\big) + 1 = -5(t - 2)^2 + 20 + 1$$ $$h(t) = -5(t - 2)^2 + 21$$

c) Le sommet est $(2,\,21)$. La hauteur maximale est 21 m, atteinte après 2 secondes.

d) On résout $h(t) = 16$.

$$-5(t - 2)^2 + 21 = 16$$ $$-5(t - 2)^2 = -5$$ $$(t - 2)^2 = 1$$ $$t - 2 = 1 \quad \text{ou} \quad t - 2 = -1$$

Donc $t = 3$ ou $t = 1$. Les deux valeurs sont positives : le ballon est à 16 m à 1 s et à 3 s.

e) Le sommet correspond au moment et à la hauteur du point le plus haut de la trajectoire.

Question 4

a) Point milieu :

$$M\left(\frac{1 + 7}{2},\,\frac{-3 + 5}{2}\right) = (4,\,1)$$

b) Distance :

$$AB = \sqrt{(7 - 1)^2 + (5 - (-3))^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

c) Pente :

$$m_{AB} = \frac{5 - (-3)}{7 - 1} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$

d) Avec le point $A(1,\,-3)$ :

$$y + 3 = \frac{4}{3}(x - 1)$$ $$y = \frac{4}{3}x - \frac{4}{3} - 3 = \frac{4}{3}x - \frac{13}{3}$$

Vérification avec $B$ : $\dfrac{4}{3}(7) - \dfrac{13}{3} = \dfrac{28 - 13}{3} = 5$.

e) La pente perpendiculaire est l'opposée de l'inverse de $\dfrac{4}{3}$, donc $-\dfrac{3}{4}$. La droite passe par $M(4,\,1)$ :

$$y - 1 = -\frac{3}{4}(x - 4)$$ $$y = -\frac{3}{4}x + 3 + 1 = -\frac{3}{4}x + 4$$

Question 5

a) Soit $c$ le prix d'un cahier et $s$ le prix d'un stylo, en dollars.

$$\begin{cases} 3c + 2s = 19{,}50 \\ c + 4s = 16{,}50 \end{cases}$$

b) On multiplie la deuxième équation par 3 :

$$3c + 12s = 49{,}50$$

On soustrait la première équation :

$$10s = 30 \qquad s = 3$$

Puis $c + 4(3) = 16{,}50$, donc $c + 12 = 16{,}50$ et $c = 4{,}50$.

Un cahier coûte 4,50 $** et un stylo coûte **3,00$.

c) Vérification :

$$3(4{,}50) + 2(3) = 13{,}50 + 6 = 19{,}50$$ $$4{,}50 + 4(3) = 4{,}50 + 12 = 16{,}50$$

Question 6

a) La différence de hauteur entre les yeux et le sommet est le côté opposé à l'angle de 32°. La distance horizontale, 40 m, est le côté adjacent.

$$\tan 32^\circ = \frac{h}{40} \qquad h = 40\tan 32^\circ$$ $$h \approx 40 \times 0{,}6249 = 24{,}996$$

La hauteur de l'édifice est $24{,}996 + 1{,}6 \approx 26{,}6$ m.

b) La rampe est l'hypoténuse. La hauteur est le côté opposé à 12°.

$$\sin 12^\circ = \frac{h}{8} \qquad h = 8\sin 12^\circ \approx 1{,}663$$

Au centimètre près : 1,66 m.

c) Le côté cherché est adjacent à l'angle de 40°, et 15 cm est l'hypoténuse.

$$\cos 40^\circ = \frac{a}{15} \qquad a = 15\cos 40^\circ \approx 11{,}49$$

Au dixième près : 11,5 cm.

Après l'examen

Comparez d'abord votre réponse finale, puis l'endroit précis où votre démarche diffère du corrigé. Refaites ensuite, sans regarder la solution, toute question où la méthode n'était pas solide.

Pour continuer l'entraînement, consultez les exercices, en particulier ceux de secondaire 4.