Fonction quadratique : hauteur d’un ballon (secondaire 4 SN)

Secondaire 4 · sn · Fonctions · moyen · Fonctions

Énoncé

En secondaire 4, séquence Sciences naturelles (SN), on modélise parfois un mouvement par une fonction quadratique.

La hauteur $h$ , en mètres, d’un ballon de basketball est donnée par

h(t)=-5t^{2}+8t+2

où $t$ est le temps, en secondes, après le lancer. On suppose que le ballon est lancé à $t=0$ et que le sol correspond à une hauteur de 0 m.

Quelle est la hauteur du ballon au moment du lancer ?
À quel moment le ballon atteint-il sa hauteur maximale ? Quelle est cette hauteur ?
À quel moment le ballon touche-t-il le sol ? Arrondis au dixième de seconde.

Espace de travail

Indice

Pour une parabole $h(t)=at^{2}+bt+c$ , le sommet se trouve à $t=-\dfrac{b}{2a}$ . Le sol correspond aux valeurs de $t$ pour lesquelles $h(t)=0$ . On ne conserve que le temps positif.

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Correction détaillée

1. Hauteur au lancer

Au moment du lancer, $t=0$ .

h(0)=-5(0)^{2}+8(0)+2=2

La hauteur initiale est de 2 m.

2. Hauteur maximale

Ici, $a=-5$ et $b=8$ . Comme $a$ est négatif, la parabole s’ouvre vers le bas et le sommet est un maximum.

t=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{8}{2(-5)}=\dfrac{8}{10}=0{,}8

h(0{,}8)=-5(0{,}8)^{2}+8(0{,}8)+2=-5(0{,}64)+6{,}4+2=-3{,}2+6{,}4+2=5{,}2

Le ballon atteint sa hauteur maximale de 5,2 m après 0,8 s.

3. Moment où le ballon touche le sol

On résout $h(t)=0$ :

-5t^{2}+8t+2=0

On multiplie par $-1$ :

5t^{2}-8t-2=0

t=\dfrac{8\pm\sqrt{(-8)^{2}-4(5)(-2)}}{2(5)}=\dfrac{8\pm\sqrt{64+40}}{10}=\dfrac{8\pm\sqrt{104}}{10}

\sqrt{104}=\sqrt{4\times 26}=2\sqrt{26}\approx 10{,}198

t_{1}=\dfrac{8+10{,}198}{10}\approx 1{,}82\qquad t_{2}=\dfrac{8-10{,}198}{10}\approx -0{,}22

Le temps négatif n’a pas de sens dans cette situation. Arrondi au dixième, le ballon touche le sol après environ 1,8 s.

Réponse finale

0,8 s et 5,2 m

environ 1,8 s

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